Θέματα πέμπτης ενότητας

Θέμα 1

α)Δώστε μερικά (τουλάχιστον 5) παραδείγματα βιομιμητικών ρομποτικών συστημάτων, αναλύοντας:

• Απο ποιό βιολογικό οργανισμό εμπνέεται το κάθε τέτοιο σύστημα;
• Ποιά χαρακτηριστικά του οργανισμού μιμείται;
• Τι πλεονεκτήματα έχει το βιομιμητικό ρομποτικό σύστημα, σε σχέση με πιό "κλασσικά"¨αντίστοιχα ρομποτικά συστήματα;

β)Περιγράψτε τα βασικά χαρακτηριστικά της μετακίνησης των ζώων σε στερεό έδαφος, στο νερό και στον αέρα.

γ)Περιγράψτε τον μηχανισμό ελέγχου της κίνησης βιολογικών οργανισμών, ο οποίος βασίζεται σε central pattern generators.

δ)Ποιά είναι τα βασικά χαρακτηριστικά της κυματοειδούς κίνησης του χελιού; Πως αντιγράφονται αυτά τα χαρακτηριστικά σε ρομποτικά συστήματα κυματοειδούς μετακίνησης (undulatory locomotion);

Απάντηση : Στα άρθρα που μας έδωσε είναι όλα αυτά.

Θέμα 2

Μια ρομποτική πλατφόρμα βρίσκεται σε θέση $P_R = \begin{bmatrix} x_R \\ y_R \end{bmatrix}$ και έχει γωνία $f_R$ σε σχέση με το σύστημα συνταταγμένων του χώρου. Μέσα στον ίδιο χώρο, στη θέση που έχει συντεταγμένες $P_B = \begin{bmatrix} x_B \\ y_B \end{bmatrix}$ υπάρχει μία μπάλα. Για να μετασχηματίσουμε τις συντεταγμένες (του χώρου) σε τοπικές συντεταγμένες (του ρομπότ) χρησιμοποιούμε τον τύπο: $P_b = \begin{bmatrix} x_b \\ y_b \end{bmatrix} = R(P_B - P_R)$ όπου $R = \begin{bmatrix} cos(f_R) & sin(f_R) \\ -sin(f_R) & cos(f_R) \\ \end{bmatrix}$. Αν $x_R = 3$, $y_R = 2$, $f_R = 45^o$ και $x_B = 1$, $y_B = 4$ ποιές θα είναι οι συντεταγμένες της μπάλας στο τοπικό σύστημα συντεταγμένων του ρομπότ; (δίδεται $cos(45^o) = sin(45^o) = 0.707$)

Λύση: Θα χρησιμοποιήσουμε κατευθείαν το μετασχηματισμό. Στον πίνακα $R$ βάζουμε όπου $f$ τη γωνία του ρομπότ σε σχέση με το χώρο και τα $P_B$ και $P_R$ είναι οι συντέταγμένες της μπάλας και του ρομπότ αντίστοιχα στο σύστημα συντεταγμένων του χώρου. Έτσι:

$P_b = \begin{bmatrix} x_b \\ y_b \end{bmatrix} = R(P_B - P_R) =$

$\begin{bmatrix} cos(f_R) & sin(f_R) \\ -sin(f_R) & cos(f_R) \\ \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} x_B - x_R \\ y_B - y_R \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos(45^o) & sin(45^o) \\ -sin(45^o) & cos(45^o) \\ \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} 1 - 3 \\ 4 - 2 \end{bmatrix} =$

$\begin{bmatrix} 0.707 & 0.707 \\ -0.707 & 0.707 \\ \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} -2 \\ 2 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0 \\ 1.414 \end{bmatrix}$.

Θέμα 3

Θεωρούμε τον επίπεδο ρομποτικό βραχίονα του σχήματος, που διαθέτει δύο περιστροφικές αρθρώσεις οι οποίες σχηματίζουν γωνίες $\theta_1$ και $\theta_2$ με τον οριζόντιο άξονα x. Οι σύνδεσμοι του βραχίονα έχουν μήκη $L_1$ και $L_2$.

• α) Να προσδιοριστούν οι συντεταγμένες $(x_2,y_2)$ του άκρου του βραχίονα (σημείο $O_2$ στο σχήμα), σαν συνάρτηση των γωνιών $\theta_1$ και $\theta_2$.

• β)Παραγωγίζοντας ως προς το χρόνο τα αποτελέσματα του ερωτήματος (α), να προσδιοριστεί ο πίνακας $J(\theta_1,\theta_2)$ (με διαστάσεις 2x2) στην παρακάτω σχέση:

$\begin{bmatrix} x_2'\\ y_2' \end{bmatrix} = J(\theta_1,\theta_2)\begin{bmatrix} \theta_1'\\ \theta_2' \end{bmatrix}$

όπου $x_2',y_2',\theta_1',\theta_2'$ είναι οι παράγωγοι ως προς το χρόνο των $x_2,y_2,\theta_1,\theta_2$

• γ)Να προσδιοριστεί πότε ο παραπάνω πίνακας $J(\theta_1,\theta_2)$ δεν είναι αντιστρέψιμος (να προσδιοριστούν οι γωνίες $\theta_1$ και $\theta_2$ για τις οποίες συμβαίνει αυτό).
• δ) Υποθέτοντας ότι ο πίνακας $J(\theta_1,\theta_2)$ είναι αντιστρέψιμος, να προσδιορίστεί ο αντίστροφός του $J^{-1}(\theta_1,\theta_2)$.
• ε) Υποθέτουμε ότι $\theta_1(0) = \pi/3, \theta_2(0) = \pi/6, \theta_1'(t)= \pi/2 + cos(10t)$ και $\theta_2'(t) = t^2e^t.$ Να προσδιοριστούν οι γωνίες $\theta_1$ και $\theta_2$ σαν συναρτήσεις του χρόνου, ολοκληρώνοντας τις αντίστοιχες χρονικές παραγώγους $\theta_1'$ και $\theta_2'$ :

$\theta_i(t) = \theta_i(0) + \int_{0}^{t}\theta_i'(\tau)d\tau , i = 1,2.$

Λύση

• α)Θα πρέπει να προσδιορίσουμε πρώτα τη θέση του $O_1 (x_1, y_1)$

Ισχύει για το $O_1$

(1) $x_1 = L_1 * cos(\theta_1)$

(2) $y_1 = L_1 * sin(\theta_1)$

Επίσης ισχύει για τις συντεταγμένες του $O_2 (x_2, y_2)$:

(3) $x_2 - x_1 = L_2 * cos(\theta_2)$

(4) $y_2 - y_1 = L_2 * sin(\theta_2)$

όπως προκύπτει από το ορθ. τρίγωνο με υποτείνουσα την Ο1-Ο2 Επομένως από τις σχέσεις (1) κ (3)και (2) κ (4) έχουμε:

(5) $x_2 = L_2 * cos(\theta_2) + x_1 = L_2 * cos(\theta_2) + L_1 * cos(\theta_1)$

(6) $y_2 = L_2 * sin(\theta_2) + y_1 = L_2 * sin(\theta_2) + L_1 * sin(\theta_1)$

και ετελείωσε το (α)

• β) Παραγωγίζω τις σχέσεις (5) και (6) ως προς το χρόνο. Εδώ οι $x_2,y_2,\theta_1,\theta_2$ είναι συναρτήσει του χρόνου επομένως τις θεωρούμε σαν $x_2(t), y_2(t), \theta_1(t), \theta_2(t)$.

Έχουμε:

(7) $x_2' = (-L_2 * sin(\theta_2))*\theta_2' + (-L_1 * sin(\theta_1))*\theta_1'$

(8) $y_2' = (L_2 * cos(\theta_2))*\theta_2' + (L_1 * cos(\theta_1))*\theta_1'$

Επομένως ο πίνακας $J(\theta_1,\theta_2)$ στη σχέση του ερωτήματος είναι:

$J(\theta_1,\theta_2) = \begin{bmatrix} -L_1 * sin(\theta_1) & -L_2 * sin(\theta_2) \\L_1 * cos(\theta_1) & L_2 * cos(\theta_2) \end{bmatrix}$.

• γ) Για να είναι ο πίνακας μη αντιστρέψιμος πρέπει η ορίζουσά του να ισούται με το μηδέν.

Η ορίζουσα δίνεται από:

$det(J) = |J| = \begin{vmatrix} -L_1 * sin(\theta_1) & -L_2 * sin(\theta_2) \\L_1 * cos(\theta_1) & L_2 * cos(\theta_2) \end{vmatrix} = -L_1 *L2* sin(\theta_1)*cos(\theta_2) + L_1*L_2*cos(\theta_1)*sin(\theta_2)$

Πρέπει λοιπόν να βρω $\theta_1, \theta_2$ τέτοιες ώστε $-L_1 *L2* sin(\theta_1)*cos(\theta_2) + L_1*L_2*cos(\theta_1)*sin(\theta_2) = 0$.

Λύνουμε:

$- sin(\theta_1)*cos(\theta_2) + cos(\theta_1)*sin(\theta_2) = 0$

$sin(\theta_2 - \theta_1) = 0$

Άρα $\theta_2 - \theta_1 = \kappa*\pi$

ή $\theta_2 = \theta_1 + \kappa*\pi$ όπου $\kappa\isin\mathbb{Z}$ ή $\kappa\isin{...-2,-1,0,1,2...}$.

• δ) Από τον τύπο για τον αντίστροφο 2x2 πίνακα έχω:

$J^{-1} = \frac{1}{det(J)} \begin{bmatrix} L_2 * cos(\theta_2) & L_2 * sin(\theta_2) \\ -L_1 * cos(\theta_1) & -L_1 * sin(\theta_1) \\ \end{bmatrix}$.

• ε) Για το $\theta_1$:

$\theta_1(t) = \theta_1(0) + \int_{0}^{t}\theta_1'(\tau)d\tau$

$= \pi/3 + \int_{0}^{t}\pi/2 + cos(10\tau)d\tau$

$= \pi/3 + \int_{0}^{t}(\pi/2)d\tau + \int_{0}^{t}cos(10\tau)d\tau$

$= \pi/3 + (\pi/2)*t + (1/10)(sin(10t)) \,$

Για το $\theta_2$:

$\theta_2(t) = \theta_2(0) + \int_{0}^{t}\theta_2'(\tau)d\tau$

$= \pi/6 + \int_{0}^{t}\tau^2*e^\tau d\tau$

$= \pi/6 + \int_{0}^{t}\tau^2*(e^\tau)'d\tau$

$= \pi/6 + t^2*e^t - \int_{0}^{t}\tau*e^\tau d\tau$

$= \pi/6 + t^2*e^t - \int_{0}^{t}\tau*(e^\tau)'d\tau$

$= \pi/6 + t^2*e^t - t*e^t + \int_{0}^{t}e^\tau d\tau$

$= \pi/6 + t^2*e^t - t*e^t + e^t \,$

Θέμα 4

Έστω ένα ρομπότ το οποίο κινείται σε ένα χώρο με αρκετές αίθουσες Δ1, Δ2, ... Κάποιες από τις αίθουσες έχουν από ένα παράθυρο, και κάποιες δεν έχουν καθόλου παράθυρα. Κατά τη διάρκεια της εκπαίδευσης, το ρομπότ αφέθηκε να περιπλανηθεί στο χώρο τραβώντας τυχαία φωτογραφίες. Τράβηξε συνολικά 1000 φωτογραφίες. Καταμετρώντας τα δωμάτια από τα οποία πάρθηκαν οι φωτογραφίες και τα παράθυρα που εμφανίζονται σε αυτές, παρατηρούμε ότι:

- Στις 500 από τις 1000 φωτογραφίες διακρίνεται κάποιο παράθυρο.

- Οι 150 από τις 1000 φωτογραφίες αντιστοιχούν στο δωμάτιο Δ1

- Από τις 150 φωτογραφίες που αντιστοιχούν στο δωμάτιο Δ1, στις 130 είναι ορατό το παράθυρο που βρίσκεται εκεί.

Αν υποθέσουμε ότι το ρομπότ κινούμενο στο χώρο τραβάει τυχαία μία φωτογραφία. Να υπολογιστεί σύμφωνα με τον κανόνα του Bayes η πιθανότητα το ρομπότ να βρίσκετε στο δωμάτιο Δ1 δεδομένου ότι στη φωτογραφία διακρίνεται ένα παράθυρο.

Λύση:

Τα ενδεχόμενα που μας ενδιαφέρουν είναι:

• Α: Το ενδεχόμενο το ρομπότ να βρίσκεται στο δωμάτιο Δ1. Έχει πιθανότητα $P(A) = 150/1000 \,$

• Β: Το ενδεχόμενο μια φωτογραφία να έχει παράθυρο. Έχει πιθανότητα $P(B) = 500/1000 \,$

• (B|A) : Το ενδεχόμενο να έχει η φωτογραφία παράθυρο δεδομένου οτι το ρομπότ βρίσκεται στο Δ1. Έχει πιθανότητα $P(B|A) = 130/150 \,$

Ψάχνουμε την πιθανότητα το ρομπότ να βρίσκεται στο Δ1 δεδομένου ότι η φωτογραφία έχει παράθυρο. Άρα ψάχνουμε το $P(A|B)$. Χρησιμοποιούμε τον κανόνα του Bayes:

$P(A|B) = \frac{P(B | A)\, P(A)}{P(B)} \,$

και βρίσκουμε το αποτέλεσμα.

Θέμα 5

Απαντήστε τις ακόλουθες ερωτήσεις σχετικά με ένα νευρονικό δίκτυο:

• α) Ποιές είναι οι παράμετροι που χαρακτηρίζουν ένα δίκτυο;

1. Αριθμός νευρώνων
2. Τοπολογία, τύπος συνδέσεων
3. Αν είναι feed-forward ή recurrent ή αλλου τύπου
4. Αλγόριθμος μάθησης (unsupervised, supervised η reinforcement)
5. Συνάρτηση ενεργοποίησης (σιγμοειδής συνήθως)
6. Ρυθμός μάθησης (learning rate)
7. Συνάρτηση σφάλματος που επιλέγουμε
8. Κωδικοποίηση των σημάτων εισόδου

Δεν τα θυμάμαι......

• β) Για ποιούς λόγους χρησιμοποιούμε σιγμοειδείς συναρτήσεις για τη συνάρτηση εξόδου ενός νευρώνα; (πχ tanh)

1. Εμπνευσμένοι απο βιολογικά συστήματα που παρουσιάζουν την ίδια μή-γραμμινκή συμπεριφορά
2. Είναι υπολογιστικά εύχρηστες και παραγωγίσιμες, οπότε μπορεί κανείς να εξάγει αναλυτικούς κανόνες μάθησης (αλλαγής βαρών) στην περίπτωση του back-propagation
3. Αποτελούν μια πλήρη βάση στο χώρο των συναρτήσεων, οπότε μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την μάθηση μιας αυθαίρετης συνάρτησης f

• γ) Ποιά η διαφορά ανάμεσα σε ένα feed-forward και σε ένα recurrent δίκτυο όσον αφορά τη ροή της πληροφορίας;

Στο feed-forward, η ροή της πληροφορίας πηγαίνει μόνο στην έξοδο, στο recurrent υπάρχουν συνδέσεις που ανατροφοδοτούν το δίκτυο και έτσι η έξοδος μπορεί να λειτουργήσει ώς είσοδος. (ποτέ δεν κατάλαβα ποιό το νόημα της ερώτησης)

Θέμα 6

Εξηγήστε τα ακόλουθα:

• α) Τι είναι το πρόβλημα των πολλαπλών ελαχίστων στην διαδικασία προσδιορισμού των βαρών του δικτύου;
• β) Ποιός είναι ο ρόλος της σταθεράς/μηχανισμού learning rate στους τύπους που προσδιορίζουν τις διορθώσεις των βαρών; Τι τελικά επιτυγχάνουμε με το learning rate;

Απάντηση

Θέμα 7

Δώστε δύο συγκεκριμένα παραδείγματα από τη βιβλιογραφία στα οποία βιοφυσικά μοντέλα χρησιμοποιήθηκαν για να μελετήσουν:

• 1) μεμβρανικούς μηχανισμούς και τη σχέση τους με τη συμπεριφορά οτυ κυττάρου (πχ ρεύματα)

• 2) πιο σύνθετες λειτουργίες του κυττάρου (πχ απόκριση σε πολύπλοκα συναπτικά ερεθίσματα, μορφολογία κτλ)

Περιγράψτε γενικά το μοντέλο και εξηγήστε πιο ήταν το πλεονέκτημα της χρήσης μοντέλων αντί για (μαζί με) πειραματικές προσεγγίσεις στα δύο παραδείγματα.